Question

（本小题满分12分）已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，，求实数的取值范围

Answer 1

（1）函数的单调递增区间，函数的单调递减区间

；（2）

【解析】

试题分析：（1）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（2）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.

（3）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.

试题解析：【解析】
（1），

令当单调递增，

单调递减，

函数的单调递增区间，函数的单调递减区间

，

（2）令，即恒成立，

而，

令

在上单调递增，，

当时，在上单调递增，，符合题意；

当时，在上单调递减，，与题意不合；

当时，为一个单调递增的函数，而，

由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，当时，从而在上单调递减，从而，与题意不合，

综上所述：的取值范围为.

考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、恒成立的问题.

考点分析： 考点1：导数在研究函数中的应用 考点2：函数的单调性与导数 试题属性

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