Question

如图，四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面边长和侧棱长都等于2，平面A₁ACC₁⊥平面ABCD，∠ABC＝∠A₁AC＝60°，点O为底面对角线AC与BD的交点.
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D—A₁A—C的平面角的正切值.

Answer 1

（1）见解析（2）2

（Ⅰ）由已知AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，则
△ ABC为正三角形，所以AC＝2.                                              
△ 因为点O为AC的中点，则AO＝1.
又AA₁＝2，∠A₁AO＝60°，
在△A₁OA中，由余弦定理，得
.                                   
所以A₁O²＋AO²＝AA₁²，所以A₁O⊥AC.                                        
因为平面AA₁C_­1C⊥平面ABCD，其交线为AC，
所以A₁O⊥平面ABCD.                                                        
（Ⅱ）因为底面ABCD为菱形，则BD⊥AC.又BD⊥A₁O，则BD⊥平面A₁ACC₁.     
过点O作OE⊥AA₁垂足为E，连接DE，则AA₁⊥DE，
所以∠DEO为二面角D－AA₁－C的平面角.                                     
在Rt△AOD中，OD=.                                     
在Rt△AEO中，OE＝AO·sin∠EAO＝.                                     
在Rt△DOE中，tan∠DEO＝.
故二面角D—A₁A—C的平面角的正切值为2.