Question

【题目】如图，四棱锥中，垂直平面，，，，为的中点.

（Ⅰ） 证明：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明 （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）可证 平面，从而得到平面平面．

（Ⅱ）在平面内过作的垂线，垂足为，由（1）可知平面，从而就是所求的线面角，利用解直角三角形可得其正弦值．

（Ⅰ）证明: 平面，平面， 故．

又，所以． 故，即 ，而，所以平面，

因为平面，所以平面平面．

（Ⅱ）平面，平面， 故．又，所以．

在平面内，过点作，垂足为．

由（Ⅰ）知平面平面， 平面，平面平面 所以平面．

由面积法得：即．

又点为的中点，．所以．

又点为的中点，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等．

连结交于点，则．

所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，即．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

另解：如图，取的中点，如图建立坐标系．

因为，所以．所以有：

，，，，，

．

．，．

设平面的一个法量为，则

取，得 ，．即．

设直线与平面所成角为，则

．