Question

给出下列命题：
（1）等比数列{a_n}的公比为q，则“q＞1”是“an+1＞an(n∈N*)”的既不充分也不必要条件；
（2）“x≠1”是“x²≠1”的必要不充分条件；
（3）函数的y=lg（x²+ax+1）的值域为R，则实数-2＜a＜2；
（4）“a=1”是“函数y=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”的充要条件．
其中真命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据等比数列的性质及递增数列的定义，结合充要条件的定义可判断（1）的真假；
分别判断“x≠1”⇒“x²≠1”与“x²≠1”⇒“x≠1”的真假，结合充要条件的定义可判断（2）的真假；
根据函数的y=lg（x²+ax+1）的值域为R，则真数可取任意正数，其最小值不大于0，求出a的范围，可判断（3）的真假；
根据倍角公式及三角函数的周期，结合充要条件的定义可判断（4）的真假；

解答：解：若首项为负，则公比q＞1时，数列为递减数列an+1＜an(n∈N*)，当an+1＞an(n∈N*)时，包含首项为正，公比q＞1和首项为负，公比0＜q＜1两种情况，故（1）正确；
“x≠1”时，“x²≠1”在x=-1时成立，“x²≠1”时，“x≠1”一定成立，故（2）正确
函数的y=lg（x²+ax+1）的值域为R，则x²+ax+1=0的△=a²-4≥0，解得-2≤a≤2，故（3）错误；
“a=1”时，“函数y=cos²x-sin²x=cos2x的最小正周期为π”，但“函数y=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”时，“a=±1”，故“a=1”是“函数y=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，故（4）错误
故选B

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了充要条件的定义，熟练掌握充要条件的定义及证明方法是解答的关键．