Question

【题目】已知函数（，是自然对数的底数）.

（1）若函数在点处的切线方程为，试确定函数的单调区间；

（2）①当，时，若对于任意，都有恒成立，求实数的最小值；②当时，设函数，是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）①；②存在，使得命题成立

【解析】

（1）利用切线方程可知，，从而构造出方程组求得，得到解析式，根据导函数的符号确定的单调区间；（2）①将问题转化为对任意恒成立；设，利用导数求解，可得；②设存在，使得，将问题转化为，利用导数分别在，和研究的最大值和最小值，从而根据最值的关系可求得的取值范围.

（1）由题意

在点处的切线方程为：

，，即： 解得：，

，

当时，，当时，

在上单调递减，在上单调递增

（2）①由，，，即：

对任意，都有恒成立等价于对任意恒成立

记，

设 对恒成立

在单调递增

而，

在上有唯一零点

当时，，当时，

在单调递减，在上单调递增

的最大值是和中的较大的一个

，即 ，

的最小值为

②假设存在，使得，则问题等价于

⑴当时，，则在上单调递减

，即，得：

（2）当时，，则在上单调递增

，即，得：

（3）当时，当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增

，即……（*）

由（1）知在上单调递减，故，而

不等式（*）无解

综上所述，存在，使得命题成立