【题目】如图,已知是半圆
的直径,
,
是将半圆圆周四等分的三个分点.
(1)从这5个点中任取3个点,求这3个点组成直角三角形的概率;
(2)在半圆内任取一点,求
的面积大于
的概率.
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【题目】某公司研发了两种具有自主知识产权的操作系统,分别命名为“天下”、“东方”.这两套操作系统均适用于手机、电脑、车联网、物联网等,且较国际同类操作系统更加流畅.
(1)为了解喜欢“天下”系统是否与性别有关,随机调查了名男用户和
名女用户,每位用户对“天下”系统给出喜欢或不喜欢的评价,得到下面列联表:
请问:能否有的把握认为男、女用户对“天下”系统的喜欢有差异?
附:.
(2)该公司选定万名用户对“天下”和“东方”操作系统(以下简称“天下”、“东方”)进行测试,每个用户只能从“天下”或“东方”中选择一个使用,每经过一个月后就给用户一次重新选择“天下”或“东方”的机会.这个月选择“天下”的用户在下个月选择“天下”的概率均为
,选择“东方”的概率均为
,
;这个月选择“东方”的用户在下个月选择“天下”的概率均为
,选择“东方”的概率均为
,
.记
表示第
个月用户选择“天下”的概率,已知
,
,
,
,
.
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)证明:数列(
)为等比数列;
(ⅲ)预测选择“天下”操作系统的用户数量不超过多少万人.(精确到1万)
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【题目】已知某商品每件的生产成本(元)与销售价格
(元)具有线性相关关系,对应数据如表所示:
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 15 | 17 | 21 | 27 |
(1)求出关于
的线性回归方程
;
(2)若该商品的月销售量(千件)与生产成本
(元)的关系为
,
,根据(1)中求出的线性回归方程,预测当
为何值时,该商品的月销售额最大.
附:,
.
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【题目】已知函数(
,
是自然对数的底数).
(1)若函数在点
处的切线方程为
,试确定函数
的单调区间;
(2)①当,
时,若对于任意
,都有
恒成立,求实数
的最小值;②当
时,设函数
,是否存在实数
,使得
?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】已知分别是双曲线E:
的左、右焦点,P是双曲线上一点,
到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当
时,
的面积为
,求此双曲线的方程。
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【题目】已知椭圆,
是长轴的一个端点,弦
过椭圆的中心
,点
在第一象限,且
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设、
为椭圆上不重合的两点且异于
、
,若
的平分线总是垂直于
轴,问是否存在实数
,使得
?若不存在,请说明理由;若存在,求
取得最大值时的
的长.
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【题目】已知抛物线:
的焦点为
,直线
与抛物线
交于
,
两点,
是坐标原点.
(1)若直线过点
且
,求直线
的方程;
(2)已知点,若直线
不与坐标轴垂直,且
,证明:直线
过定点.
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【题目】如图,某隧道的剖面图是由半圆及矩形组成,交通部门拟在隧道顶部安装通风设备(视作点
),为了固定该设备,计划除从隧道最高点
处使用钢管垂直向下吊装以外,再在两侧自
两点分别使用钢管支撑.已知道路宽
,设备要求安装在半圆内部,所使用的钢管总长度为
.
(1)①设,将
表示为关于
的函数;
②设,将
表示为关于
的函数;
(2)请选用(1)中的一个函数关系式,说明如何设计,所用的钢管材料最省?
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