Question

【题目】已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，点在第一象限，且，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设、为椭圆上不重合的两点且异于、，若的平分线总是垂直于轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的的长．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根据所给向量间的关系求出点的坐标，又由得出半长轴，再将点的坐标代入椭圆方程解出，则可得椭圆方程；（2）由题意可得，设，则，将的直线方程与椭圆联立解得的坐标，进而得到的坐标，从而由斜率公式求得，证得，可得存在实数符合题意，先利用基本不等式求得，再求出的最大值.

（1）∵，∴，

∵．即，

∴是等腰直角三角形，

∵，∴，

而点在椭圆上，∴，，∴，

∴所求椭圆方程为．

（2）对于椭圆上两点，，

∵的平分线总是垂直于轴，

∴与所在直线关于对称，

，则，

∵，∴的直线方程为，①

的直线方程为，②

将①代入，得，③

∵在椭圆上，∴是方程③的一个根，

∴，

以替换，得到．

∴，

∵，，，弦过椭圆的中心，

∴，，∴，

∴，∴，

∴存在实数，使得，

，

当时，即时取等号，

，

又， ，

∴取得最大值时的的长为．