Question

【题目】如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，为中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）设平面与直线交于点，求线段的长

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）证明平面．推出．然后证明平面．得到．．即可证明平面．

（Ⅱ）说明．证明平面．通过求解即可．

（Ⅲ）证明．说明为中点．然后求解即可．

解：（Ⅰ）因为三棱柱中，

侧棱垂直于底面，

所以平面．

因为平面，

所以．

又因为，，

所以平面．

因为平面，

所以．

因为，所以四边形为菱形．

所以．

因为，

所以平面．

（Ⅱ）由已知，平面，平面，

所以．

因为，，

所以平面．

又，故到平面的距离为2．

因为为中点，所以点到平面距离为1．

所以

（Ⅲ）在三棱柱中，

因为，为平面与平面的公共点，

所以平面平面．

因为平面平面，平面，

所以平面．

又平面平面，

所以．

又，所以．

因为为中点，所以为中点．

所以