Question

【题目】如图，在三棱锥中，，，为线段上一点，且，平面，与平面所成的角为.

（1）求证:平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）先由线面垂直的判定定理，证明平面，进而可得平面平面；

（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的一个法向量，根据向量夹角公式，求出两向量夹角的余弦值，进而可得出结果.

(1)因为，，

所以

所以是直角三角形，；

在中，由，，

不妨设，由得，，，，

在中，由余弦定理得,

故,

所以，所以；

因为平面，平面，

所以，又，

所以平面，又平面，

所以平面平面；

(2)因为平面，所以与平面所成的角为，即，

可得为等腰直角三角形，，

由(1)得，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

则为平面的一个法向量。

设为平面的一个法向量，

因为，，

则由得

令，则，，

则为平面的一个法向量，

故

故二面角的平面角的余弦值为.