Question

已知AA₁⊥平面ABC，AA₁=AB=BC=CA=3，P为A₁B上的点．
（1）当P为A₁B中点时，求证：AB⊥PC；
（2）当

A1P

PB

=

1

2

时，求二面角P-BC-A平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）作PD∥AA₁交AB于D，连CD，PD⊥面ABC，由已知条件推导出AB⊥平面PCD，从而能证明AB⊥PC．
（2）过P作PD⊥AB于D，过D作DE⊥BC于E，连结PE，则∠DEP为二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A平面角的余弦值．

解答： （本大题共12分）
（1）证明：当P为A₁B中点时，
作PD∥AA₁交AB于D，连CD，
由AA₁⊥面ABC，知PD⊥面ABC，
∵P为A₁B的中点，∴D为AB中点，
∵△ABC为正三角形，
∴CD⊥AB，
∴AB⊥平面PCD，
∴AB⊥PC．
（2）解：过P作PD⊥AB于D，
过D作DE⊥BC于E，连结PE，
则∠DEP为二面角P-BC-A的平面角，
∵PD=2，DE=

3

，PE=

7

，
∴cos∠PED=

21

7

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．