Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S₁=10，当n≥2时，2S_n=（n+4）a_n．
（1）求a₂，a₃的值；  
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

的值．

Answer 1

分析：（1）由a₁=S₁可求a₁，由2S_n=（n+4）a_n，令n=2，可求a₂，令n=3，可求a₃
（2）由2S_n=（n+4）a_n，可得2S_n-1=（n+3）a_n-1（n≥3），两式相减，利用叠乘可求a_n
（3）由（2）可得

1

anan+1

=

1

(n+3)(n+4)

=

1

n+3

-

1

n+4

，利用裂项可求

解答：解：（1）∵a₁=S₁=10，由2S_n=（n+4）a_n
令n=2，得2S₂=（2+4）a₂，即a₁+a₂=6a₂，
∴a₂=5
令n=3，得2S₃=（3+4）a₃，即2（a₁+a₂+a₃）=7a₃，
∴a₃=6
（2）∵2S_n=（n+4）a_n，2S_n-1=（n+3）a_n-1（n≥3）
两式相减，得2a_n=2（S_n-S_n-1）=（n+4）a_n-（n+3）a_n-1
即

an

an-1

=

n+3

n+2

(n≥3)
∴an=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…

an-1

an-2

•

an

an-1

=10•

5

10

•

6

5

•

7

6

…

n+3

n+2

=n+3（n≥3）
n=2时也适合，n=1时，a₁=10不适合
∴an=

10(n=1) n+3(n≥2)

（3）当n≥2时，
∵

1

anan+1

=

1

(n+3)(n+4)

=

1

n+3

-

1

n+4

∴

1

a2a3

+

1

a3a4

+…

1

anan+1

=(

1

5

-

1

6

)+(

1

6

-

1

7

)+…+(

1

n+3

-

1

n+4

)=

1

5

-

1

n+4

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，叠加法求解数列的通项及裂项求解数列的和，属于数列知识的综合应用．