Question

已知函数f（x）=x²+mx+n的图象过点（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）-λf（x）在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将点的坐标代入函数解析式得到一个方程；利用函数满足的等式得到函数的对称轴，据二次函数的对称轴公式列出方程求出m，n；求出f（x）的解析式；利用相关点法求出g（x）的解析式．
（2）利用函数在区间上单调，则导函数大于等于0恒成立，列出恒成立的不等式，分离参数，转化成求函数的最值

解答：解：（1）由题意知：1+m+n=3对称轴为x=-1故-

m

2

=-1
解得m=2，n=0，
∴f（x）=x²+2x，
设函数y=f（x）图象上的任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），
则x₀=-x，y₀=-y，因为点Q（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上，
∴-y=x²-2x，
∴y=-x²+x，
∴g（x）=-x²+2x．
（2）F（x）=-x²+2x-λ（x²+2x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x
∵F（x）在（-1，1]上是增函且连续，F'（x）=-2（1+λ）x+2（1-λ）≥0
即λ≤

1-x

1+x

=

2

1+x

-1在（-1，1]上恒成立，
由

2

1+x

-1在（-1，1]上为减函数，
当x=1时取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范围是（-∞，0]，

点评：本题考查求函数解析式的方法：待定系数法、直接法、函数单调求参数的范围、解决不等式恒成立．