Question

（本小题满分13分）
如图，已知抛物线，过点作抛物线的弦,．

（Ⅰ）若,证明直线过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅱ）假设直线过点，请问是否存在以为底边的等腰三角形? 若存在，求出的个数？如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）直线过定点.；（Ⅱ）满足条件的等腰三角形有且只有一个．

（1）设出直线的方程，注意讨论斜率是否存在，与抛物线联立，利用，转化为坐标运算，数量积为0，找到直线中两个参数的关系，即找到直线过定点；（2）在（1）的条件下，
把用代换，求出中点的坐标，用表示，若存在以为底边的等腰三角形，也就是，整理得关于的方程，解方程就得到满足条件的三角形及其个数.
（Ⅰ）设直线的方程为，点、的坐标分别为.
由消，得.
由，得,.
∵，∴，∴.

∴，
∴或.
∴或，∵恒成立. ∴.
∴直线的方程为 ，∴直线过定点. ………………………………（6分）
（Ⅱ）假设存在以为底边的等腰三角形，由第（Ⅰ）问可知，将用代换得
直线的方程为.设点、的坐标分别为.
由消，得.
∴  .
∵的中点坐标为，即，
∵，∴的中点坐标为.
由已知得，即． 
设，则，
在上是增函数.
又，在内有一个零点.
函数在上有且只有一个零点，即方程在上有唯一实根．
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．……………………………………………………… （13分）