Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a（$\sqrt{3}$tanB-1）=$\frac{bcosA}{cosB}+\frac{ccosA}{cosC}$．
（1）求角C的大小；
（2）若三角形的周长为20，面积为10$\sqrt{3}$，且a＞b，求三角形三边长．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知可得tanA+tanB+tanC=$\sqrt{3}$tanAtanB，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式化简可求tanC=$\sqrt{3}$，利用特殊角的三角函数值即可得解C的值．
（2）由面积公式解得ab=40，由余弦定理可得a²+b²-c²=ab=40，结合已知化简整理即可解得a，b，c的值．

解答 解：（1）∵a（$\sqrt{3}$tanB-1）=$\frac{bcosA}{cosB}+\frac{ccosA}{cosC}$，
∴可得：sinA（$\sqrt{3}$tanB-1）=$\frac{sinBcosA}{cosB}+\frac{sinCcosA}{cosC}$$\frac{bcosA}{cosB}+\frac{ccosA}{cosC}$，
∴tanA（$\sqrt{3}$tanB-1）=tanB+tanC，
∴tanA+tanB+tanC=$\sqrt{3}$tanAtanB，
∴tanC=$\sqrt{3}$，
∴C=60°．
（2）由面积公式：S=$\frac{1}{2}$absinC=10$\sqrt{3}$，解得ab=40，
由余弦定理可得：a²+b²-c²=ab=40，
而a+b+c=20，
可得c=20-a-b，代入上式，化简整理可得a+b=13，
所以a，b是方程x²-13x+40=0的两根，
所以a=8，b=5，c=7．

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正切函数公式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．