Question

14．已知函数f（x）=a^x+bx+c（a＞0，a≠1，b，c∈R）
（1）若b=0，且满足f（2）=1，f（4）=73，求函数f（x）的解析式；
（2）当a=2时，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求非负实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程组进行求解即可．
（2）根据不等式的关系，先判断函数f（x）的单调性，转化为最值恒成立即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+c=1}\\{{a}^{4}+c=73}\end{array}\right.$，----------------------------（1分）
∴a⁴-a²-72=0，----------------------------（2分）
则（a²-9）（a²+8）=0，----------------------------（3分）
则a²=9，得a=3，---------------------------（4分）
∴c=-8，则f（x）=3^x-8．----------------------------（5分）
（Ⅱ）任取-1≤x₁＜x₂≤1，
则f（x₁）-f（x₂）=2${\;}^{{x}_{1}}$+bx₁+c-（2${\;}^{{x}_{2}}$+bx₂+c）=（2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$）+b（x₁-x₂）----------------------------（6分）
又∵2${\;}^{{x}_{1}}$＜2${\;}^{{x}_{2}}$，b≥0，x₁-x₂＜0------------------------------------------（7分）
∴（2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$）+b（x₁-x₂）＜0---------------------------，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
函数f（x）在[-1，1]上单调递增，-------------------（8分）
则函数的最大值f（1）=2+b+c，最小值f（-1）=$\frac{1}{2}$-b+c，---------------（9分）
若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，则需满足|f（1）-f（-1）|≤4------------------------（10分）
∴|2b+$\frac{3}{2}$|≤4，得-4≤2b+$\frac{3}{2}$≤4，得-$\frac{11}{4}$≤b≤$\frac{5}{4}$，-----------------------（11分）
又b≥0，则0≤b≤$\frac{5}{4}$．----------------------------（12分）

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及不等式恒成立问题，利用待定系数法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．