Question

【题目】已知.

（Ⅰ）若，求的单调增区间；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）增区间为；（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）不等式恒成立，等价于当时， 恒成立，只需 ，利用导数研究函数的单调性，求出 的最大值为，所以， .

试题解析：(Ⅰ) 依题意，

若时，，

由得，又，

解得，所以函数的单调递增区间为．

(Ⅱ)依题意得即，

∴，∵，∴ ，∴，

∴.

设， ，

令，解得，

当时，，在单调递增；

当时，，在单调递减；

∴=，

∴ 即．

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及求函数的最值、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题（2）是利用方法 ① 求得的取值范围.