Question

已知函数f(x)=sin(x+

π

4

)+2cos(x-

π

4

)+2sin2x+3cos(x+

3π

4

)；g(x)=f(x)+f2(

x

2

)
（I）求f(

π

4

)；
（II）求函数g（x）的最小正周期和单调递增区间；
（III）在△ABC中，g（A）=4，

AB

AC

=4

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将x=

π

4

代入已知关系式即可求得f（

π

4

）；
（II）利用两角和与差的正弦与辅助角公式可将f（x）化简为f（x）=2sin2x，继而可得g（x）的表达式，从而利用正弦函数的性质可求其最小正周期和单调递增区间；
（III）依题意，可求得A=

π

4

，利用向量的数量积与三角形的面积公式即可求得△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）f（

π

4

）=sin

π

2

+2cos0+2sin

π

2

+3cosπ=2，
（Ⅱ）∵f（x）=sin（x+

π

4

）+2sin（x+

π

4

）+2sin2x+3cos（x+

π

4

+

π

2

）=2sin2x，
g（x）=f（x）+f2(

x

2

)=2sin2x+4sin²x=2sin2x-2cos2x+2
=2

2

sin（2x-

π

4

）+2，
∴函数g（x）的最小正周期周期T=π；
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）
解得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，（k∈Z）
∴函数g（x）的单调递增区间是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，（k∈Z）
（Ⅲ）∵g（A）=2

2

sin（2A-

π

4

）+2=4，
∴sin（2A-

π

4

）=

2

2

，
∴2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

（∵-

π

4

＜2A-

π

4

＜

7π

4

），
∴A=

π

4

或A=

π

2

，
∵

AB

•

AC

=4

2

，故A≠

π

2

，
∴A=

π

4

；
又

AB

•

AC

=bc•cosA=4

2

∴bc=8，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=2

2

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查平面向量数量积的运算，着重考查正弦函数的单调性、周期性．正弦定理的综合应用，属于中档题．