Question

已知函数g（x）=x²-（a+b）x+ab，其中a＞0，b＞0，函数f（x）=xg（x），
（1）当x＞0时，函数g（x）的值恒为非负数，且f（x）在x=1处取到极大值，求a的值；  
（2）若f（x）在x=x₁和x=x₂处分别取到极大值和极小值，记A[x₁，f（x₁）]，B[x₂，f（x₂）]，O是坐标原点，若直线OA与直线OB垂直，求a+b的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用,平面向量及应用

分析：（1）由函数g（x）=x²-（a+b）x+ab的图象是开口朝上，且以直线x=

a+b

2

为对称轴的抛物线，故当x=

a+b

2

时，函数g（x）取最小值，若当x＞0时，函数g（x）的值恒为非负数，则g（

a+b

2

）=-(

a-b

2

)2≥0，故a=b，由f（x）在x=1处取到极大值，则

a+b- a2+b2-ab

3

=1，联立方程可得a值；
（2）由直线OA与直线OB垂直，可得x₁•x₂+f（x₁）•f（x₂）=0，进而根据判断式法可得a+b的最小值．

解答： 解：（1）∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，ab＞0，
又由函数g（x）=x²-（a+b）x+ab的图象是开口朝上，且以直线x=

a+b

2

为对称轴的抛物线，
故当x=

a+b

2

时，函数g（x）取最小值，
若当x＞0时，函数g（x）的值恒为非负数，则g（

a+b

2

）=-(

a-b

2

)2≥0，
即a=b，…①
又∵f（x）=xg（x）=x³-（a+b）x²+abx，
故f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
若f（x）在x=1处取到极大值，
则

a+b- a2+b2-ab

3

=1…②，
解得a=b=3，
（2）∵f（x）=xg（x）=x³-（a+b）x²+abx，
∴f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
若f（x）在x=x₁和x=x₂处分别取到极大值和极小值，
则x₁+x₂=

2(a+b)

3

，x₁•x₂=

ab

3

，
∵f（x₁）=x₁³-（a+b）x₁²+abx₁，f（x₂）=x₂³-（a+b）x₂²+abx₂，
故f（x₁）•f（x₂）=

4a3b3-a2b2(a+b)2

27

，
若直线OA与直线OB垂直，
则x₁•x₂+f（x₁）•f（x₂）=

9ab+4a3b3-a2b2(a+b)2

27

=0
即ab[9+4a²b²-ab（a+b）²]=0，
即9+4a²b²-ab（a+b）²=0，
则△=（a+b）⁴-144≥0
解得a+b≥2

3

，
即a+b的最小值为2

3

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，向量垂直的充要条件，运算量大，综合性强，转化难度大，属于难题．