Question

已知函数f（x）=（1-a）lnx+

a

x

+x，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]（e=2.718…）上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出导数f′（x）=

1-a

x

-

a

x2

+1，（x＞0），由f′（1）=0解出即可，
（Ⅱ）求出f′（x）=

1-a

x

-

a

x2

+1=

(x+1)(x-a)

x2

，分别讨论①a≤1时，②1＜a＜e时，③a≥e时的情况求出即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1-a

x

-

a

x2

+1，（x＞0）
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，
∴f′（1）=0，即

1-a

1

+

-a

12

+1=0，
∴a=1，
（Ⅱ）∵f′（x）=

1-a

x

-

a

x2

+1=

(x+1)(x-a)

x2

，
①a≤1时，在区间[1，e]，f′（x）≥0，
∴f（x）在[1，e]上递增，
∴x=1时，f（x）取到最小值f（1）=1+a，
②1＜a＜e时，在区间[1，a]，f′（x）≤0，∴f（x）在[1，a]上递减，
在区间[a，e]，f′（x）≥0，∴f（x）在[a，e]递增，
∴x=a时，f（x）取到最小值f（a）=1+a+lna-alna，
③a≥e时，在[1，e]上，f′（x）≤0，∴f（x）在[1，e]递减，
∴x=e时，f（x）取到最小值f（e）=1+a+

a

e

+e，
综上，当a≤1时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=1+a，
1＜a＜e时f（x）在[1，e]最小值是f（a）=1+a+lna-alna，
a≥e时，f）（x）在[1，e]上的最小值是f（e）=1+a+

a

e

+e．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道综合题．