Question

抛物线y=x²-6x+1与坐标轴的交点均在⊙C上，
（1）求⊙C的方程；
（2）若⊙C与直线x-y+a=0交于A、B两点且OA⊥OB，求实数a的值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）求出抛物线y=x²-6x+1与坐标轴的交点，设出圆心坐标，利用圆心与交点的距离相等，求出圆心与半径，即可求出圆的方程．
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由题意可得

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0．由

y=x2-6x+1 x-y+a=0

，可得 x²-7x+1-a=0，再利用韦达定理求得 x₁+x₂和x₁•x₂的值，再由
x₁•x₂+y₁•y₂=0，求得a的值．

解答： 解：（1）由于抛物线y=x²-6x+1与坐标轴的交点（0，1）、（3±2

2

）均在⊙C上，
设圆的圆心坐标为（3，b），则

9+(b-1)2

=

(3-3+2 2 )2+(b-0)2

=r²，
∴b=1，r=3，
∴圆方程为（x-3）²+（y-1）²=9．
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由题意可得OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0．
由

y=x2-6x+1 x-y+a=0

，可得 x²-7x+1-a=0，
∴x₁+x₂=7，x₁•x₂=1-a．
故有x₁•x₂+y₁•y₂=1-a+（x₁+a）（x₂+a）=1-a+x₁•x₂+a（x₁+x₂）=2-2a+7a=0．
a=-

2

5

．

点评：本题考查抛物线y=x²-6x+1与坐标轴的交点，考查圆的方程，求出圆的圆心与半径是关键，直线和圆相交的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．