Question

已知函数f（x）=ax²+bx-1，其中a∈（0，4），b∈R．
（1）设b＜0，且{f（x）|x∈[-

1

a

，0]}=[-

3

a

，0]，求a，b的值；
（2）是否存在实数a，b，使函数f（x）恰有一个零点x₀∈（1，2）；若存在请给出一对实数a，b，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：（1）由函数f（x）=ax²+bx-1的图象是开口朝上，且以直线x=-

b

2a

为对称轴的抛物线，可得f（x）在[-

1

a

，0]上为减函数，结合{f（x）|x∈[-

1

a

，0]}=[-

3

a

，0]，可得：

f(- 1 a )=0 f(0)=- 3 a

，解方程组可得满足条件的a，b的值；
（2）取f（x）=（x-

3

2

）（x+

2

3

），此时a=1，b=

5

6

，满足题意．（此问为开放题目，答案不唯一）．

解答： 解：（1）∵a∈（0，4），
故函数f（x）=ax²+bx-1的图象是开口朝上，且以直线x=-

b

2a

为对称轴的抛物线，
又∵b＜0，
∴-

b

2a

＞0，则f（x）在[-

1

a

，0]上为减函数，
由{f（x）|x∈[-

1

a

，0]}=[-

3

a

，0]，可得：
∴

f(- 1 a )=0 f(0)=- 3 a

，即

1 a - b a -1=0 -1=- 3 a

，
解得：a=3，b=-2
（2）取f（x）=（x-

3

2

）（x+

2

3

），
此时函数f（x）恰有一个零点x₀=

3

2

∈（1，2）满足题意，
此时a=1，b=

5

6

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．