Question

设函数f（x）=x（e^x-1）-ax²（e=2071828…是自然对数的底数）．
（I）若a=

1

2

，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N^*，x＞0，求证：e^x＞1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

n!=n×（n-1）×…×2×1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）通过求导得出函数的单调区间，
（Ⅱ）由f（x）=x（e^x-1-ax）得g（x）=e^x-1-ax，则g′（x）=e^x-a．通过讨论a≤1，a＞1分别求出a的范围，
（Ⅲ）可通过数学归纳法进行证明．

解答： 解：（Ⅰ）a=

1

2

时，f（x）=x（e^x-1）-

1

2

x²，
f′（x）=e^x-1+xe^x-x=（e^x-1）（（x+1）．
令f'（x）＞0，得x＜-1或x＞0，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（0，+∞）．
（Ⅱ）f（x）=x（e^x-1-ax）
令g（x）=e^x-1-ax，则g′（x）=e^x-a．
若a≤1，则当（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
而g（x）=0，从而当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥0．
若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
而g（x）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．
所以不合题意，舍去．
综合得a的取值范围为（-∞，1]．
（Ⅲ）用数学归纳法证明：
（1）n=1时，令h（x）=e^x-（1+x），x≥0，
显然h（0）=0，h′（x）=e^x-1＞0对x＞0成立，∴h（x）在[0，+∞）递增，
当x＞0时，有h（x）＞h（0）=0，即e^x＞1+x，
∴n=1时不等式成立，
（2）假设n=k时不等式成立，
即e^x＞1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xk

k!

，
当n=k+1时，令m（x）=e^x-（1+

x

1!

+…+

xk+1

(k+1)!

），
显然m（0）=0，由归纳假设m；′′（x）=e^x-（1+

x

1!

+…+

xk

k!

）＞0对x＞0成立，
∴m（x）在[0，+∞）递增，
当x＞0时，有m（x）＞m（0）=0，
即e^x＞1+

x

1!

+…+

xk+1

(k+1)!

当n=k+1时不等式成立，
综合（1）（2）得：
n∈N^*，x＞0，e^x＞1+

x

1!

+

x2

2!

+…+

xn

n!

．

点评：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，考查分类讨论思想，数学归纳法的应用，是一道综合题．