Question

已知圆O：x²+y²=2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为

2

2

的椭圆，其左焦点为F，若P是圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q．
（Ⅰ） 求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ） 若点P的坐标为（1，1）求证：直线PQ与圆O相切；
（Ⅲ） 试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由已知得a=

2

，e=

2

2

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由已知得直线OQ的方程为y=-2x，从而点Q（-2，4），k_OP⊥k_PQ，由此能证明直线PQ与圆O相切．
（Ⅲ）当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切．设P（x₀，y₀），（x0≠±

2

），则y02=2-x02，直线OQ的方程为y=-

x0+1

y0

x，由此入手能证明直线PQ始终与圆O相切．

解答： （I）解：∵圆O：x²+y²=2交x轴于A、B两点，
曲线C是以AB为长轴，离心率为

2

2

的椭圆，
∴a=

2

，e=

2

2

，解得c=1，b=1，
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵P（1，1），∴kPF=

1

2

，∴k_OQ=-2，
∴直线OQ的方程为y=-2x，
∴点Q（-2，4）…（6分）
∴k_PQ=-1，又k_OP=1，∴k_OP⊥k_PQ，
即OP⊥PQ，故直线PQ与圆O相切．…（8分）
（Ⅲ）解：当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切，…（9分）
证明如下：设P（x₀，y₀），（x0≠±

2

），则y02=2-x02，
∴kPF=

y0

x0+1

，kOQ=-

x0+1

y0

，
∴直线OQ的方程为y=-

x0+1

y0

x，
∴点Q（-2，

2x0+2

y0

），…（11分）
∴k_PQ=

y0- 2x0+2 y0

x0+2

=

y02-(2x0+2)

(x0+2)y0

=

-x02-2x0

(x0+2)y0

=-

x0

y0

，
又k_OP=

y0

x0

，…（13分）
∴k_OP•k_PQ=-1，即OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆O相切．…（14分）

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆相切的证明，考查直线与圆的位置关系的判断与证明，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．