Question

已知函数g（x）=log_a（1-x），h（x）=log_a（x+3）（0＜a＜1）．
（1）设f（x）=g（x）+h（x），若函数f（x）的最小值是-2，求a的值；
（2）设F（x）=g（x）-h（x），用定义证明函数F（x）在定义域上是增函数．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）由已知可得函数f（x）的定义域为（-3，1），f（x）=g（x）+h（x）=log_a（-x²-2x+3），当x∈（-3，1）时，-x²-2x+3∈（0，4]，故函数f（x）的最小值是-2，则log_a4=-2，进而可得a的值；
（2）由已知可得函数F（x）的定义域为（-3，1），F（x）=g（x）-h（x）=log_a

1-x

x+3

，利用导数法，结合复合函数同增异减的原则，可得函数F（x）在定义域上为增函数．

解答： 解：（1）由

1-x＞0 3+x＞0

可得：x∈（-3，1），
故函数f（x）的定义域为（-3，1），
∴f（x）=g（x）+h（x）
=log_a（1-x）+log_a（x+3）
=log_a[（1-x）（x+3）]
=log_a（-x²-2x+3），
当x∈（-3，1）时，-x²-2x+3∈（0，4]，
故函数f（x）的最小值是-2，
又∵0＜a＜1，
则log_a4=-2，
解得a=

1

2

（2）F（x）=g（x）-h（x）=log_a（1-x）-log_a（x+3）=log_a

1-x

x+3

，
由

1-x＞0 3+x＞0

可得：x∈（-3，1），
故函数F（x）的定义域为（-3，1），
令u（x）=

1-x

x+3

，则u′（x）=

-x-3-1+x

(x+3)2

=

-4

(x+3)2

，
由u′（x）＜0在x∈（-3，1）时恒成立，
故u（x）在（-3，1）上为减函数，
任取x₁，x₂∈（-3，1）且x₁＜x₂．
则u（x₁）＞u（x₂），
又∵0＜a＜1，
则log_a（x₁）＜log_a（x₂），
即F（x₁）＜F（x₂），
则F（x）=log_a

1-x

x+3

在（-3，1）上为增函数．

点评：本题考查的知识点是函数的单调性证明，二次函数的图象和性质，指数的运算性质，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．