Question

已知：数列{a_n}的首项为1，点（a_n，a_n+1）在直线y=x+1的图象上，
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）b_n=2a_n-13，求S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|；
（3）c_n=

1

(2an-1)(2an+1)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞

k

16

对一切n∈N^*都成立的最大的正整数k的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于点（a_n，a_n+1）在直线y=x+1的图象上，可得a_n+1=a_n+1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=2a_n-13=2n-13．可得|bn|=

-bn，n≤6 bn，n≥7

．当n≤6时，S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-b₁-b₂-…-b_n，当n≥7时，S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-b₁-b₂-…b₆+b₇+…b_n，即可得出；
（3）利用“裂项求和”即可得出T_n，解出即可．

解答： 解：（1）∵点（a_n，a_n+1）在直线y=x+1的图象上，
∴a_n+1=a_n+1，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）×1=n．
（2）b_n=2a_n-13=2n-13．
∴|bn|=|2an-13|=|2n-13|=

-bn(n≤6) bn(n≥7)

，
当n≤6时，S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|
=-b₁-b₂-…-b_n
=11+9+…+（13-2n）
=12n-n²；
当n≥7时，S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|
=-b₁-b₂-…b₆+b₇+…b_n
=2s6-(12n-n2)=72-12n+n2，
∴sn=

12n-n2(n≤6) 72-12n+n2(n≥7)

．
（3）cn=

1

(2an-1)(2an+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

…

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，
∵Tn＞

k

16

即

n

2n+1

＞

k

16

，化为 

16n

2n+1

＞k．
∵

16n

2n+1

=

16n+8-8

2n+1

=8-

8

2n+1

，
而

8

2n+1

≤

8

3

，
∴

16n

2n+1

=8-

8

2n+1

≥8-

8

3

=

16

3

．）
∴对一切n∈N*都成立，可以得出

16

3

＞k．
∴最大的正整数k=5．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、不等式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．