Question

定义在R上的奇函数f（x）=2^x+m•2^-x．
（1）求m的值，并求当f（x）＞2^-x时，实数x的取值范围；
（2）当x∈[-2，1]时，不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的性质,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=0，求出m=-1，再由指数函数的单调性，解出不等式；
（2）当x∈[-2，1]时，不等式f（x）＜k恒成立，等价为k＞f（x）_max，求出区间[-2，1]内的最大值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴1+m=0，m=-1，
∴f（x）=2^x-2^-x，
∴f（x）＞2^-x即为2^x＞2^1-x，
∴x＞1-x，即x＞

1

2

．
∴实数x的取值范围是（

1

2

，+∞）；
（2）∵f（x）=2^x-2^-x在R上递增，
∴x∈[-2，1]时，f（x）_max=f（1）=2-

1

2

=

3

2

，
∴当x∈[-2，1]时，不等式f（x）＜k恒成立，
有k＞f（x）_max，即k＞

3

2

．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性，及应用，同时考查不等式的恒成立问题，转化为求函数的最值问题，属于中档题．