Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足关系式（2+t）S_n+1-tS_n=2t+4（t≠-2，t≠0，n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）当a₁为何值时，数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}使b₁=1，b_n=f（b_n-1）（n=2，3，4，…），求b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，如果对一切n∈N₊，不等式恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）（2+t）S_n+1-tS_n=2t+4①n≥2时，（2+t）S_n-tS_n-1=2t+4②
两式相减：（2+t）（S_n+1-S_n）-t（S_n-S_n-1）=0，（2+t）a_n+1-ta_n=0，．即n≥2时，为常数．（2分）
当n=1时，（2+t）S₂-tS₁=2t+4，（2+t）（a₂+a₁）-ta₁=2t+4，解得．
要使{a_n}是等比数列，必须．∴，解得a₁=2．（5分）
（Ⅱ）由（1）得，，因此有，
即，整理得．
则数列是首项为=2，公比为2的等比数列，，．（10分）
（Ⅲ）把，代入得：，
即，
要使原不等式恒成立，c必须比上式右边的最大值大．∵=，
∴的值随n的增大而减小．则当n=1时，取得最大值4．
因此，实数c的取值范围是c＞4．（14分）
分析：（Ⅰ）由（2+t）S_n+1-tS_n=2t+4，知（2+t）（S_n+1-S_n）-t（S_n-S_n-1）=0，所以为常数．当n=1时，（2+t）S₂-tS₁=2t+4，（2+t）（a₂+a₁）-ta₁=2t+4，解得．要使{a_n}是等比数列，必须，由此能求出a₁．
（Ⅱ）由，知，即．由此能求出b_n．
（Ⅲ）把，代入得：，即，要使原不等式恒成立，c必须比上式右边的最大值大由此入手，能求出实数c的取值范围．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．