Question

【题目】如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，AD=AB=2,=0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．
（1）若棱AP的中点为H，证明：HE∥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．

Answer 1

【答案】解：（1）∵底面ABCD是平行四边形，AD=AB=2，=0，
∴底面ABCD是边长为2的正方形，取AD的中点G，
连接HE，HG，GC，根据题意得HG=EC=1，且HG∥EC∥PD，
则四边形EHGC是平行四边形，
所以HE∥GC，HE平面ABCD，GC平面ABCD，
故HE∥平面ABCD
（2）如图，

取PB的中点M，连接AC，DB交于点F，连接ME，MF，
作FK⊥PB于点K，容易得到∠AKF是二面角A﹣PB﹣D的平面角，
AF=，Rt△PDB～Rt△FKB，易得PK=，
从而tan，所以
由于点M是PB的中点，所以MF是△PDB的中位线，MF∥PD，且MF=，
MF=EC，且MF∥EC，故四边形MFCE是平行四边形，则ME∥AC，
又AC⊥平面PDB，则ME⊥平面PDB，ME平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PDB，
所以二面角A﹣PB﹣E的大小就是二面角A﹣PB﹣D的大小与直二面角D﹣PB﹣E的大小之和
故二面角A﹣PB﹣E的大小为+=
【解析】（1）取AD的中点G，连接HE，HG，GC，证明四边形EHGC是平行四边形，推出HE∥GC，即可证明HE∥平面ABCD．
（2）如图，取PB的中点M，连接AC，DB交于点F，连接ME，MF，作FK⊥PB于点K，∠AKF是二面角A﹣PB﹣D的平面角，通过Rt△PDB～Rt△FKB，求出 ， 得到二面角A﹣PB﹣E的大小就是二面角A﹣PB﹣D的大小与直二面角D﹣PB﹣E的大小之和，求解二面角A﹣PB﹣E的大小。