Question

动圆C过定点（1，0），且与直线x=-1相切．设圆心C的轨迹Γ方程为F（x，y）=0
（1）求F（x，y）=0；
（2）曲线Γ上一定点P（1，2），方向向量的直线l（不过P点）与曲线Γ交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为k_PA，k_PB，计算k_PA+k_PB；
（3）曲线Γ上的一个定点P（x，y），过点P作倾斜角互补的两条直线PM，PN分别与曲线Γ交于M，N两点，求证直线MN的斜率为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点C作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|CF|=|CN|，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线．
（2）设 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由题得直线的斜率-1，过不过点P的直线方程为y=-x+b，代入抛物线方程得y²+4y-4b=0，利用根与系数的关系及斜率公式，计算 的值，从而得出结论．
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），计算 的解析式．设MP的直线方程为y-y=k（x-x），代入抛物线方程利用根与系数的关系求得 y₁+y₂的值，从而求得k_MN的值，从而得出结论．
解答：解：（1）过点C作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|CF|=|CN|，
即动点C到定点F与定直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线．
其中（1，0）为焦点，x=-1为准线，所以轨迹方程为y²=4x．
（2）证明：设 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由题得直线的斜率-1．
过不过点P的直线方程为y=-x+b，由  得  y²+4y-4b=0，则y₁+y₂=-4．
由于P（1，2），=
===0．
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 ==（***）．
设MP的直线方程为y-y=k（x-x），
由，可得，
则，∴．
同理，得．
代入（***）计算得：y₁+y₂=-2y₀ ，∴（为定值）．
点评：本题主要考查抛物线的定义，圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，直线的斜率公式，属于中档题．