Question

已知函数f（x）=2^|x|-sin（

5π

2

+x），对于任意的x₁，x₂∈[-π，π]，有如下条件：
①x₁²＞x₂²；   ②x₁＞x₂；  ③|x₁|＞x₂；   ④x₁＞|x₂|．
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件序号是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：化简f（x）后可判断f（x）的奇偶性、单调性，借助偶函数的性质可判断①④的正确性；举反例可说明②③的错误．

解答： 解：f（x）=2^|x|-sin（

5π

2

+x）=2^|x|-cosx，
∵f（-x）=2^|-x|-cos（-x）=2^|x|-cosx=f（x），
∴函数f（x）=2^|x|-cosx为偶函数，
∴f（-x）=f（|x|）；
又x∈[0，π]时，2^|x|=2^x递增，-cosx递增，
∴f（x）=2^|x|-cosx在[0，π]上单调递增，且在[-π，0]上单调递减．
①中，x₁²＞x₂²，即|x₁|＞|x₂|，
结合偶函数的性质得f（|x₁|）＞f（|x₂|），
∴f（x₁）＞f（x₂）；
④中，x₁＞|x₂|，即|x₁|＞|x₂|，
于是也有f（x₁）＞f（x₂）；
②③中，取x₁=0，x₂=-1，可知 f（x₁）＜f（x₂）；
故答案为：①④．

点评：本题考查函数f（x）的奇偶性与单调性，得到f（x）为偶函数，在[0，π]上单调递增是关键，考查分析转化能力，属于中档题．