Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=2处取得极值4，且其导函数y=f′（x）的图象经过坐标原点．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[-3，3]，求y=f（x）的值域．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，由已知条件得

f′(2)=12a+4b+c=0 f(2)=8a+4b+2c=4 c=0

，由此能求出f（x）=-x³+3x²．
（2）f′（x）=-3x²+6x，令f′（x）=0，得x=0，或x=2，由此能求出y=f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵在x=2处取得极值4，且其导函数y=f′（x）的图象经过坐标原点，
∴

f′(2)=12a+4b+c=0 f(2)=8a+4b+2c=4 c=0

，解得a=-1，b=3，c=0．
∴f（x）=-x³+3x²．（7分）
（2）∵f′（x）=-3x²+6x，
∴令f′（x）=0，得x=0，或x=2，
∵f（-3）=27+27=54，
f（0）=0，
f（2）=-8+12=4，
f（3）=-27+27=0，
∴y=f（x）的值域为[0，54]．（14分

点评：本题考查函数的值域的求法，考查函数的解析式的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．