Question

已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的区间[2t，t+1]上单调，求实数t的取值范围；
（3）记g（x）=f（x）+4（1-m）x，对于任意的实数x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|g（x₁）-g（x₂）|≤8成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法,二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值

专题：综合题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）由已知可设函数的顶点式f（x）=a（x-1）²+1（a＞0），再由f（0）=3可得a；
（2）由题意可知区间在对称轴的一侧，由此可得不等式；
（3）对于任意的实数x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|g（x₁）-g（x₂）|≤8，等价于g（x）_max-g（x）_min≤8，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论可求得最值，再解不等式即可；

解答： 解：（1）∵f（0）=f（2），
∴f（x）的对称轴为x=1，
又f（x）的最小值为1，
∴设f（x）=a（x-1）²+1（a＞0），
则f（0）=a+1=3，解得a=2，
∴f（x）=2（x-1）²+1；
（2）由题意，得2t≥1或t+1≤1，
解得t≥

1

2

或t≤0；
（3）g（x）=f（x）+4（1-m）x=2x²-4mx+3，
对于任意的实数x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|g（x₁）-g（x₂）|≤8，等价于g（x）_max-g（x）_min≤8，
①当m≤-1时，g（x）_max=g（1）=5-4m，g（x）_min=g（-1）=5+4m，
∴（5-4m）-（5+4m）≤8，即-8m≤8，解得m≥-1，
∴m=-1；
②当m≥1时，g（x）_max=g（-1）=5+4m，g（x）_min=g（1）=5-4m，
∴（5+4m）-（5-4m）≤8，即8m≤8，解得m≤1，
∴m=1；
③当-1＜m≤0时，g（x）_max=g（1）=5-4m，g（x）_min=g（m）=3-2m²，
∴（5-4m）-（3-2m²）≤8，即m²-2m-3≤0，解得-1≤m≤3，
∴-1＜m≤0；
④当0＜m＜1时，g（x）_max=g（-1）=5+4m，g（x）_min=g（m）=3-2m²，
∴（5+4m）-（3-2m²）≤8，即-3≤m≤1，
∴0＜m＜1；
综上所述，实数m的取值范围是[-1，1]．

点评：本题考查了用待定系法求二次函数解析式的方法，关键是选择适当的形式；研究二次函数的单调性主要是研究对称轴与区间的关系．考查二次函数在给定区间上的最值，考查分类讨论思想．