Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-cos²x-

1

2

，
（1）求函数f（x）的单调减区间．
（2）设△ABC中，c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a、b的值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,正弦函数的单调性

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（1）先将函数化简，再利用正弦函数的单调性，即可求函数f（x）的单调减区间．
（2）求出C，A，B，再利用三角函数求解即可．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinxcosx-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
由2x-

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，可得函数f（x）的单调减区间为[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]（k∈Z）；
（2）f（C）=sin（2C-

π

6

）-1，∴C=

π

3

．
∵sin（A+C）=2sinA，
∴

1

2

sinA+

3

2

cosA=2sinA，
∴tanA=

3

3

，
∴A=

π

6

，
∴B=

π

2

，
∵c=3，
∴a=

2 3

3

，b=

4 3

3

．

点评：本题考查三角恒等变化与化简求值，解题的关键是熟练掌握三角恒等变换公式，对解析式进行化简，再由正弦函数的性质求值，本题考查了函数与方程的思想及运算变形的能力，是三角函数中有一定综合性的题．