Question

已知函数f（x）=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

（1）若f（x）=1，求cos（

2π

3

-x）的值
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足acosC+

1

2

c=b，求f（2B）的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,二倍角的正弦

专题：解三角形

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式整理，根据f（x）=1求得x的值，代入cos（

2π

3

-x）即可．
（2）根据正弦定理和已知等式求得cosA的值，进而求得A，则B的范围可得，最后根据B的范围求得函数f（2B）的范围．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
∵f（x）=1，
∴sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
∴

x

2

+

π

6

=2kπ+

π

6

，或

x

2

+

π

6

=2kπ+

5π

6

，
∴x=4kπ，或x=4kπ+

4π

3

，
∴cos（

2π

3

-x）=cos（

2π

3

-4kπ）=cos

2π

3

=-

1

2

，
或cos（

2π

3

-x）=cos（

2π

3

-4kπ-

4

3

）=cos（4kπ+

2π

3

）=-

1

2

，
综合cos（

2π

3

-x）=-

1

2

．
（2））∵acosC+

1

2

c=b
∴由正弦定理得 sinAcosC+

1

2

sinC=sinB
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA代入上式 有
sinAcosC+

1

2

sinC=sinAcosC+sinCcosA 
∴

1

2

sinC=sinCcosA     得cosA=

1

2

，A=

π

3

，
又三角形是锐角三角形，故必有

C= 2π 3 -B＜ π 2 B＜ π 2

解得

π

6

＜B＜

π

2

，
∴

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

，
∴

1+ 3

2

＜f（2B）=sin（B+

π

6

）+

1

2

＜

3

2

，
即f（2B）的取值范围（

1+ 3

2

，

3

2

）．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理的应用．考查了学生对三角函数基础知识的理解和灵活运用．