Question

已知函数f（x）=cosωx（sinωx-

3

cosωx），（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求实数ω的值．
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若f（

B

2

）=

2 - 6 -2 3

4

，|

AB

+

AC

|=|

AB

-

AC

|=8，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（I）由题意化简f（x），由周期可得ω的值；
（II）由题意可得sin(B-

π

3

)=

2 - 6

4

，由向量式可判A=

π

2

，又可得B=

π

4

，可得△ABC为等腰直角三角形，结合已知数据可得三角形三边，进而可得周长．

解答： 解：（I）由题意可得f(x)=

1

2

sin2ωx-

3

2

(1+cos2x)
=sin(2ωx-

π

3

)-

3

2

，
∴T=

2π

2ω

=π，解得ω=1；
（II）由f(

B

2

)=

2 - 6 -2 3

4

，得sin(B-

π

3

)=

2 - 6

4

，
又|

AB

+

AC

|=|

AB

-

AC

|=8，∴

AB

⊥

AC

，∴A=

π

2

，

∴sinB=sin[(B-

π

3

)+

π

3

]=

2

2

，∴B=

π

4

，
∴△ABC为等腰直角三角形，又BC=8，
由题意得AC=8sinB=4

2

=AB，
∴a+b+c=8+8

2

点评：本题考查平面向量与三角函数的结合，属基础题．