Question

已知函数f（x）=|4^x+k2^x+1|．
（Ⅰ）当k=-4时，求函数f（x）在x∈[0，2]上的值域；
（Ⅱ）设（4^x+2^x+1）g（x）=f（x），若存在x₁，x₂，x₃∈R，使得以g（x₁），g（x₂），g（x₃）为三边长的三角形不存在，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）k=-4时，f（x）=|4^x-4•2^x+1|，设2^x=t，原函数转化为f（t）=|t²-4t+1|=|（t-2）²-3|，由此能求出函数f（x）在x∈[0，2]上的值域．
（Ⅱ）由题意知2g（x）_min≤g（x）_max，令p=2x+

1

2x

≥2，则g（x）=|1+

k-1

p+1

|，由此进行分类讨论，能求出实数k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）k=-4时，f（x）=|4^x-4•2^x+1|，
设2^x=t，∵x∈[0，2]，∴t∈[1，4]，
则原函数转化为f（t）=|t²-4t+1|=|（t-2）²-3|，
∵1≤t≤4，∴0≤f≤（t）≤3．
∴函数f（x）在x∈[0，2]上的值域为[0，3]．
（Ⅱ）由题意知2g（x）_min≤g（x）_max，
∵g（x）=

|4x+k•2x+1|

4x+2X+1

=|

4x+k•2x+1

4x+2x+1

|
=|1+

(k-1)•2x

4x+2x+1

|=|1+

k-1

2x+ 1 2x +1

|，
令p=2x+

1

2x

≥2，则g（x）=|1+

k-1

p+1

|，
①k＞1时，g（x）∈（1，

k+2

3

），∴2＜

k+2

3

，即k＞4；
②k=1时，g（x）=1，不满足条件；
③-2＜k＜1时，g（x）∈[

k+2

3

，1)，∴2•

k+2

3

＜1，即k＜-

1

2

；
④-5≤k≤-2时，g（x）∈[0，1），满足条件；
⑤k＜-5时，g（x）∈[0，-

k+2

3

]，满足条件．
综上所述，k＞4或k＜-

1

2

．
∴实数k的取值范围是{k|k＞4或k＜-

1

2

}．

点评：本题考查函数的值域的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意换元法和分类讨论思想的合理运用．