Question

（1）化简：sin²αsin²β+cos²αcos²β-

1

2

cos2αcos2β；
（2）已知f（x）=

(sinx-cosx)sin2x

sinx

，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的化简求值,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）把原式的第一、二项的各因式分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，提取

1

4

后，括号里边抵消合并后，再利用乘法分配律把

1

4

乘到括号里边的每一项，并把所得的积相加，抵消合并可得出化简结果．
（2）利用二倍角公式、两角和差的三角公式化简函数的解析式为y=

2

sin（2x-

π

4

）-1，令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，再根据sinx≠0，可得f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（1）sin²αsin²β+cos²αcos²β-

1

2

cos2αcos2β
=

1-cos2α

2

•

1-cos2β

2

+

1+cos2α

2

•

1+cos2β

2

-

1

2

cos2αcos2β 
=

1

4

[（1-cos2α）（1-cos2β）+（1+cos2α）（1+cos2β）]-

1

2

cos2αcos2β 
=

1

4

（2+2cos2αcos2β ）-

1

2

cos2αcos2β=

1

2

．
（2）∵f（x）=

(sinx-cosx)sin2x

sinx

=（sinx-cosx）•2cosx=sin2x-2•

1+cos2x

2

 
=sin2x-cos2x-1=

2

sin（2x-

π

4

）-1．
令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

．
再根据sinx≠0，求得 x≠kπ，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-

π

8

，kπ）、（kπ，kπ+

3π

8

]，k∈z．

点评：此题考查了二倍角的正弦、两角和差的三角公式，以及同角三角函数间的基本关系，正弦函数的增区间，属于基础题．