Question

己知集合A={x||x-1|＜1}，B={x|

2

x-1

≥1}，C={x|lg2ax＜lg（a+x）（a＞0）}，若“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件，求a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,其他不等式的解法

专题：简易逻辑

分析：根据不等式之间的关系，求出集合A，B，C，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．

解答： 解：由已知A={x||x-1|＜1}，={x|0＜x＜2}，
B={x|

2

x-1

≥1}={x|

2

x-1

-1=

3-x

x-1

≥0}={x|1＜x≤3}，所以A∩B={x|1＜x＜2}，
C={x|lg2ax＜lg（a+x）（a＞0）}={x|0＜2ax＜a+x}={x|x＞0且（2a-1）x＜a}，
因为“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件，
所以A∩B?C，
①当2a-1＞0，即a＞

1

2

，0＜x＜

a

2a-1

，即C={x|0＜x＜

a

2a-1

}，此时满足

a

2a-1

≥2，解得

1

2

＜a≤

2

3

．
②当2a-1≤0，即0＜a≤

1

2

，C={x|x＞0}，此时满足条件2，
综上0＜a≤

2

3

．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质求出集合A，B，C是解决本题的关键．