Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率

3

2

，抛物线C₂：x²=4y的焦点F恰好是椭圆短轴的一个端点．直线AB：y=kx+m与抛物线C₂相交于A，B，分别以A，B为切点作抛物线C₂的两条切线交于点P
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）若交点P在椭圆C₁上，证明：点（k，m）在定圆上运动；并求S_△ABP的最大时，直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

c a = 3 2 b=1

，由此能求出椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，利用导数据的几何意义分别求出切线PA方程：y=

x1

2

x-

x12

4

，切线PB方程：y=

x2

2

x-

x22

4

，联立方程组求出P点的坐标P(

x1+x2

2

，

x1•x2

4

)，由

y=kx+m x2=4y

，消元得：x²-4kx-4m=0，由此利用韦达定理和点到直线AB的距离公能求出直线AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线C2：x2=4y的焦点坐标F（0，1），
椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率

3

2

，
抛物线C₂：x²=4y的焦点F恰好是椭圆短轴的一个端点，
∴

c a = 3 2 b=1

，解得：

a=2 b=1

，
∴椭圆C₁的方程：

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，
由y=

x2

4

，得y′=

x

2

，
∴切线PA方程：y=

x1

2

x-

x12

4

，
同理切线PB方程：y=

x2

2

x-

x22

4

，
联立方程

y= x1 2 x- x12 4 y= x2 2 x- x22 4

，
解得P点的坐标P(

x1+x2

2

，

x1•x2

4

)，
又

y=kx+m x2=4y

，消元得：x²-4kx-4m=0，
由韦达定理得：

x1+x2=4k x1•x2=-4m

，
∴P点的坐标可化为P（2k，-m），而P点在椭圆上，∴k²+m²=1．
∴点（k，m）在单位圆上．
而|BC|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

16k2+16m

，
P点到直线AB的距离d=

|2k2+2m|

1+k2

，
S△ABP=

1

2

|BC|•d═4(k2+m)

3

2

=4(1-m2+m)

3

2

=4[-(m-

1

2

)2+

5

4

]

3

2

≤

5 5

2

，
即当m=

1

2

时取最大值．此时k=±

3

2

，
∴直线AB的方程为y=±

3

2

x+

1

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．