Question

设△ABC中的内角A、B、C所对的边长分别a、b、c，且cosB=

4

5

，b=2
（1）当a=

5

3

时，求角A的度数
（2）设AC边的中线为BM，求BM长度的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b的值，利用正弦定理求出sinA的值，即可确定出A的度数；
（2）设BM=m，∠AMB=α，在三角形ABM与三角形BCM中，分别利用余弦定理列出关系式，根据邻补角定义及诱导公式变形，消去α得到关系式，再利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出BM的最大值．

解答： 解：（1）∵cosB=

4

5

＞0，
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

＞

1

2

=sinA，
∵A＜B，∴A=30°；
（2）设BM=m，∠AMB=α，
由余弦定理得：c²=m²+1-2m×cosα；a²=m²+1+mcosα，
整理得：2m²=a²+c²-2，
∵b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²-

8

5

ac=4，即2ac=

5

4

（a²+c²-4），
∵2ac≤a²+c²，
∴

5

4

（a²+c²-4）≤a²+c²，
整理得：a²+c²≤20，即2m²=a²+c²-2≤18，
解得：0＜m≤3，
则BM的最大值为3．

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．