Question

已知函数f（x）=x³+3x²-9x+1．
（1）求f（x）的极大值；
（2）若f（x）在[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知条件知f（x）的定义域为R，f'（x）=3x²+6x-9，令f'（x）=3x²+6x-9＞0，得x＞1或x＜-3，列表讨论能求出f（x）的极大值．
（2）由（1）知f（x）在[1，2]为增函数，在[-3，1]为减函数，（-∞，-3）为增函数，由此能求出k的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+3x²-9x+1，
∴f（x）的定义域为R，f'（x）=3x²+6x-9，
令f'（x）=3x²+6x-9＞0，得x＞1或x＜-3，
列表讨论：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增↗	28	单调递减↘	-4	单调递增↗

∴当x=-3时，f（x）有极大值f（-3）=28．（5分）
（2）由（1）知f（x）在[1，2]为增函数，
在[-3，1]为减函数，（-∞，-3）为增函数，
且f（2）=3，f（-3）=28，（8分）
∵f（x）在[k，2]上的最大值为28，
∴所求k的取值范围为k≤-3，即k∈（-∞，-3]．（10分）

点评：本题考查函数的极大值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．