Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，∠B=90°，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起至△PBD，使∠PDC=90°．

（Ⅰ）求证：PF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出△ABD为正三角形，且AF⊥BD，BD⊥平面PEF，从而得到BD⊥PF．推导出△BAF≌△DAF，从而得到DF⊥AC，由此能证明PF⊥平面BCD，
（Ⅱ）设点C到平面PBD的距离为h，且AB=2，由等积法求出h=

2 6

3

．由此能求出直线PC与平面PBD所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：△ABD中，AD=BD，且∠BAD=60°，
∴△ABD为正三角形，且AF⊥BD，
折后PE⊥BD，FE⊥BD，∴BD⊥平面PEF，∴BD⊥PF，
又AD=AB，AF=AF，∠BAF=∠DAF，
∴△BAF≌△DAF，
∴∠FBA=∠FDA=90°，即DF⊥AC，
折后DF⊥DC，且PD⊥DC，
∴DC⊥平面PDF，∴DC⊥PF，
∴PF⊥平面BCD，
（Ⅱ）解：设点C到平面PBD的距离为h，且AB=2，
由题意得PB=PD=BD=3，PE=

3

，EF=

3

3

，PF=

2 6

3

，PC=2

2

，
由V_C-PBD=V_P-BCD，
得

1

3

×(

1

2

×2×

3

)h=

1

3

×(

1

2

×2

3

×1)×

2 6

3

，
解得h=

2 6

3

．
设直线PC与平面PBD所成角为α，
则sinα=

h

PC

=

3

2 2

=

3

3

，
∴直线PC与平面PBD所成角的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．