Question

2．已知函数f（x）=log₃$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$的值域为[0，1]，则b与c的和为0或4．

Answer 1

分析 根据f（x）的值域为[0，1]，及对数函数的单调性便可得到$1≤\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}≤3$，可设$y=\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$，可整理成关于x的一元二次方程的形式：（y-2）x²-bx+y-c=0，方程有解，从而便有△≥0，从而得到4y²-（4c+8）y+8c-b²≤0，根据1≤y≤3便知1，3为方程4y²-（4c+8）y+8c-b²=0的两实数根，由韦达定理即可求出b，c，从而可以得出b与c的和．

解答 解：由0≤f（x）≤1得：
$1≤\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}≤3$；
设y=$\frac{2{x}^{2}+bx+c}{{x}^{2}+1}$，整理成：
（y-2）x²-bx+y-c=0，看成关于x的一元二次方程，方程有解；
∴△=b²-4（y-2）（y-c）≥0；
即4y²-（4c+8）y+8c-b²≤0；
则1，3是方程4y²-（4c+8）y+8c-b²=0的两实根；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+3=c+2}\\{1•3=\frac{8c-{b}^{2}}{4}}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=±2}\\{c=2}\end{array}\right.$；
∴b+c=0或4．
故答案为：0或4．

点评 考查函数值域的概念，对数函数的单调性，单调性定义的运用，以及一元二次方程有解时，判别式△的取值情况，韦达定理．