Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}（{a}^{x}+{a}^{-x}）$（a＞0）的图象过点（2，$\frac{41}{9}$）．
（1）求证：函数f（x）为偶函数；
（2）求函数f（x）的解析式．
（3）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数的定义证明即可；
（2）利用f（x）=$\frac{1}{2}（{a}^{x}+{a}^{-x}）$（a＞0）的图象过点（2，$\frac{41}{9}$），建立方程，即可求函数f（x）的解析式．
（3）利用导数，证明其大于0，即可证明函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．

解答 （1）证明：∵f（x）=$\frac{1}{2}（{a}^{x}+{a}^{-x}）$，
∴f（-x）=f（x），
∴函数f（x）为偶函数；
（2）解：∵f（x）=$\frac{1}{2}（{a}^{x}+{a}^{-x}）$（a＞0）的图象过点（2，$\frac{41}{9}$）．
∴$\frac{1}{2}（{a}^{2}+{a}^{-2}）$=$\frac{41}{9}$，
∴a=3，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（3^x+3^-x）；
（3）证明：∵f（x）=$\frac{1}{2}$（3^x+3^-x），
∴f′（x）=$\frac{1}{2}$（3^xln3-3^-xln3）=$\frac{ln3}{2}$•$\frac{{3}^{2x}-1}{{3}^{x}}$
∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查函数解析式的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．