Question

12．函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$是（　　）

• A． 奇函数且为增函数
• B． 偶函数且为增函数
• C． 奇函数且为减函数
• D． 偶函数且为减函数

Answer 1

分析 求f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{x}+1}$=f（-x），从而说明该函数为奇函数，分离常数可以得到$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，可以看出x增大时2^x增大，从而可得出f（x）增大，这便说明f（x）为增函数．

解答 解：$f（-x）=\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}=-f（x）$；
∴f（x）为奇函数；
$f（x）=\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$；
x增大时，2^x+1增大，$-\frac{2}{{2}^{x}+1}$增大，f（x）增大；
∴f（x）是增函数．
故选A．

点评 考查奇函数的定义，增函数的定义，以及分离常数法的应用，指数函数的单调性，反比例函数的单调性，及复合函数的单调性．