Question

13．求函数的值域．
（1）y=$\frac{2x+1}{3x-1}$，x∈[0，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，2]．
（2）y=$\frac{x-1}{{x}^{2}-2x+3}$．

Answer 1

分析 （1）分离常数便可得到$y=\frac{2}{3}+\frac{1}{3（3x-1）}$，根据x的范围可以求出$\frac{1}{3x-1}$的范围，从而求出y的范围，即得出该函数的值域；
（2）可由原函数得到yx²-（2y+1）x+3y+1=0，看成关于x的方程，方程有解，判断该方程是否为一元二次方程，从而讨论y：y=0，容易得出满足方程有解，而y≠0时，y便需满足△≥0，求出y的范围，并合并y=0便可得出该函数的值域．

解答 解：（1）$y=\frac{2x+1}{3x-1}=\frac{\frac{2}{3}（3x-1）+\frac{1}{3}}{3x-1}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3（3x-1）}$；
①x∈[0，$\frac{1}{3}$）时，-1≤3x-1＜0，$\frac{1}{3x-1}≤-1$；
$y≤\frac{1}{3}$；
②x∈（$\frac{1}{3}$，2]时，0＜3x-1≤5，$\frac{1}{3x-1}≥\frac{1}{5}$；
∴$y≥\frac{11}{15}$；
∴该函数的值域为：$（-∞，\frac{1}{3}]∪[\frac{11}{15}，+∞）$；
（2）将原函数变成：yx²-2yx+3y=x-1；
整理得：yx²-（2y+1）x+3y+1=0，看成关于x的方程，方程有解；
①若y=0，则-x+1=0，满足方程有解；
②若y≠0，则：
△=（2y+1）²-4y（3y+1）≥0；
解得$-\frac{\sqrt{2}}{4}≤y≤\frac{\sqrt{2}}{4}$；
∴该函数的值域为：[$-\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}$]．

点评 考查函数值域的概念，分离常数法的运用，根据不等式的性质求函数的值域，以及形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函数值域的求法：整理成关于x的方程的形式，根据方程有解求其值域．