Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-ax+1，x≥a\\{4^x}-4×{2^{x-a}}，x＜a.\end{array}\right.$
（1）若x＜a时，f（x）＜1恒成立，求a的取值范围；
（2）若a≥-4时，函数f（x）在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当x＜a时，f（x）=4^x-4×2^x-a，∴令t=2^x，结合二次函数的图象和性质，可得a的取值范围；
（2）当x≥a时，f（x）=x²-ax+1，即f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{a^2}{4}$，结合二次函数的图象和性质可得此时函数有最小值；
当x＜a时，f（x）=4^x-42^x-a，令t=2^x，t∈（0，2^a），结合二次函数的图象和性质可得：当$\frac{2}{2^a}$≥2^a，即a≤$\frac{1}{2}$时，函数无最小值，
综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）∵当x＜a时，f（x）=4^x-4×2^x-a，
∴令t=2^x，则有0＜t＜2^a，
当x＜a时，f（x）＜1恒成立，转化为t²-4×$\frac{t}{{2}^{a}}$-1＜0在t∈（0，2^a）上恒成立，
设g（x）=t²-4•$\frac{t}{2^a}$-1，根
据图象可知$\left\{\begin{array}{l}g（0）≤0\\ g（{2^a}）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-1≤0\\{2^{2a}}-4•\frac{2^a}{2^a}-1≤0\end{array}\right.$，
解得：a≤log₄5；
（2）当x≥a时，f（x）=x²-ax+1，即f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{a^2}{4}$；
当$\frac{a}{2}$≤a时，即a≥0时，f（x）_min=f（a）=1；
当$\frac{a}{2}$＞a时，即-4≤a＜0，f（x）_min=f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
当x＜a时，f（x）=4^x-42^x-a，令t=2^x，t∈（0，2^a），
则h（t）=t²-$\frac{4}{2^a}$t=${（{t-\frac{2}{2^a}}）^2}$-$\frac{4}{4^a}$；
当$\frac{2}{2^a}$＜2^a，即a＞$\frac{1}{2}$时，h（t）_min=h$（{\frac{2}{2^a}}）$=-$\frac{4}{4^a}$；
当$\frac{2}{2^a}$≥2^a，即a≤$\frac{1}{2}$时，h（t）在开区间t∈（0，2^a）上单调递减，h（t）∈（4^a-4，0），无最小值，
综上，x≥a与x＜a，所以当a＞$\frac{1}{2}$时，1＞-$\frac{4}{4^a}$，函数f（x）_min=-$\frac{4}{4^a}$；
当0≤a≤$\frac{1}{2}$时，4^a-4＜0＜1，函数f（x）无最小值；
当-4≤a＜0时，4^a-4＜-3≤1-$\frac{a^2}{4}$，函数f（x）无最小值．
综上所述，当a＞$\frac{1}{2}$时，函数f（x）有最小值．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，二次函数的图象和性质，分段函数的应用，综合性强，转化困难，计算量大，属于难题．