Question

4．求下列函数的定义域与值域．
（1）y=2${\;}^{\frac{1}{x-4}}$；
（2）y=（$\frac{2}{3}$）^-|x|．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{x-4}≠0$，可得2${\;}^{\frac{1}{x-4}}$≠1，从而求得原函数的值域；
（2）令t=-|x|（t≤0），则原函数化为g（t）=$（\frac{2}{3}）^{t}$，然后借助于指数函数的值域得答案．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{x-4}≠0$，∴2${\;}^{\frac{1}{x-4}}$≠1，
结合指数函数的值域可得y=2${\;}^{\frac{1}{x-4}}$的值域为（0，1）∪（1，+∞）；
（2）令t=-|x|（t≤0），则原函数化为g（t）=$（\frac{2}{3}）^{t}$，
当t≤0时，g（t）=$（\frac{2}{3}）^{t}$≥1，
∴y=（$\frac{2}{3}$）^-|x|的值域为[1，+∞）．

点评 本题考查复合函数的值域的求法，考查指数函数的值域，是基础题．