Question

3．求函数f（x）=|x²-a²|在区间[-1，1]上的最大值M（a）的最小值．

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行，结合二次函数的单调性及a²与1的大小分类讨论求解M（a），再由单调性即可得到最小值．

解答 解：由题意可得函数f（x）为偶函数，
因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行；   
（1）当0≤a²＜1时，则
当a＞0时，函数f（x）在[0，a]上单调递减，在[a，1]上单调递增，
所以f（x）在[0，a]内的最大值为f（0）=a²，
而f（x）在[a，1]上的最大值为f（1）=1-a²，
由f（1）＞f（0）得1-a²＞a²，即0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当a∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，M（a）=f（1）=1-a²，
同理，当a∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）时，M（a）=f（0）=a²，
（2）当a²≥1时，函数在[0，1]上为减函数，所以M（a）=f（0）=a²，
综上，M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{a}^{2}，0＜a＜\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}，a≥\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$
所以M（a）在[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上为减函数且在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）为增函数，
综上易得M（a）的最小值为M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了偶函数的性质的应用，其实由分析可得M（a）=f（0）或f（1），所以可直接通过比较f（0）与f（1）的大小得出M（a）的解析式从而可求．