Question

18．已知f（x）=-3x²+（6-a）ax+b．
（1）若a=1，f（x）＜0在R上恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值；
（3）若方程f（x）=0有一个根小于1，另一根大于1，当b＞-6且b为常数时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的判别式小于0，即可得到b的范围；
（2）由题意可得1，2为方程-3x²+（6-a）ax+b=0的两根，运用韦达定理，即可得到；
（3）由题意可得f（1）＞0，解关于a的不等式，即可得到a的范围．

解答 解：（1）若a=1，f（x）＜0在R上恒成立，即为
-3x²+5x+b＜0恒成立，
即有判别式△=25+12b＜0，解得b＜-$\frac{25}{12}$，
即实数b的取值范围是（-∞，-$\frac{25}{12}$）；
（2）不等式f（x）＞0的解集为{x|1＜x＜2}，
即有1，2为方程-3x²+（6-a）ax+b=0的两根，
即为1+2=$\frac{6-a}{3}$，1×2=-$\frac{b}{3}$，
解得a=-3，b=-6；
（3）方程f（x）=0有一个根小于1，另一根大于1，
即有f（1）＞0，即b-3+a（6-a）＞0，
即有（a-3）²＜b+6（b＞-6），
解得3-$\sqrt{b+6}$＜a＜3+$\sqrt{b+6}$，
则a的取值范围是（3-$\sqrt{b+6}$，3+$\sqrt{b+6}$）．

点评 本题考查二次不等式的解法和二次函数恒成立问题的解法，以及函数和方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题．